헤세행렬(Hessain matrix)과 제약조건(constraints)

Hessain matrix는 극대, 극소, 변곡점을 판별을 합니다.

 

제가 문제를 풀다가 친구와 고민하여 생각이 났던 것인데, 당연한데 순간적으로 헷갈릴 수 있는 부분입니다.

 

constraints가 있을 때(violated, active)는 hessian matrix가 사용 불가능 합니다.

 

 

왜냐하면 경계조건에 의한 극대, 극소점이거든요.

 

 

inactive일 때는 당연히 제약조건은 무쓸모인 조건이기 때문에 자연스럽게 목적함수의 극대, 극소에 의하여 정상점이 나옵니다.

 

그림으로 보시면 아실 겁니다. 생각하시기 쉽게 y=f(x)로 생각하겠습니다.

 

초록색이 f(x)라고 생각하겠습니다. 빨간색이 제약조건이구요.

 

위와 같은 상황에서 빨간점과 초록점이 만났을 때에서 최대와, 최소를 갖습니다. 하지만 이는 함수자체에서 나온 것이 아닌 제약조건의 존재하에 나온 것입니다.

 

따라서 빨간점에서 x값을 f''(x)를 넣었을 때 어느 때는 양수, 음수 불규칙하게 나오는 것입니다.

 

이를 확장하면 경계조건에서 값을 Hessian matrix에 넣고 판별하기위해 eigen value를 구합니다. 값을 확인해보면 Hessian matrix는 어느 땐 양정, 음정, indefinite 이렇게 다양하게 나옵니다.

 

 

따라서 hessian matrix를 이용하여 판별을 할 땐, 경계조건이 아닌 inactive에서나 constraints가 없을 때 사용해야합니다.